交点直线系

在平面直角坐标系\(xOy\)中,设三角形\(ABC\)的顶点分别为\(A(0,a)\),\(B(b,0)\),\(C(c,0)\),点\(P(0,p)\)在线段\(AO\)上(异于端点).设\(a,b,c,p\)为非零常数,设直线\(BP\)、\(CP\)分别与边\(AC\)、\(AB\)交于点\(E\)、\(F\),求直线\(OE\)与直线\(OF\)


 解析:用截距式方程容易求得:

\[AC:\dfrac xc+\dfrac ya=1\\BP:\dfrac xb+\dfrac yp=1.\]

所以过\(AC\)与\(BP\)的交点\(E\)的直线系方程为

\[\left(\dfrac xc+\dfrac ya-1\right)+\lambda\left(\dfrac xb+\dfrac yp-1\right)=0.\]

该直线原点\(O(0,0)\),于是\(\lambda=-1\).

因此直线\(OE\)的方程为

\[\left(\dfrac 1c-\dfrac 1b\right)x+\left(\dfrac 1a-\dfrac 1p\right)y=0.\]

根据对称性可得直线\(OF\)的方程为

\[\left(\dfrac 1b-\dfrac 1c\right)x+\left(\dfrac 1a-\dfrac 1p\right)y=0.\]