2.10 曲线曲面

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一、曲线

几何图霸

《几何图霸》中曲线均由含参数t的参数方程定义,并在绘图区中绘制。函数图象可作为特殊的曲线。曲线的参数方程及参数范围中可以使用度量值变量,因而很容易对曲线进行动态控制,对研究含参数的数学问题提供了极大的方便。

要构造新曲线,如果需要动态变化,请先选择已有的度量值或参数变量,使用【轨迹与曲线】工具或【构造】-【曲线曲面】-【曲线】命令几何图霸定义您的曲线。当您确定后关闭“曲线”对话框时,它的图形将出现。

中学数学中函数图象可以看作特殊的平面曲线,其中x=t,y=f(t),z=0.比如正弦函数 y=sin(x) 的参数方程为:

选取曲线,可以在其【属性】中修改有关设置。请注意参数方程所使用的坐标系。曲线是用小线段去逼近的,因此参数的精度要适宜。如果参数围为[-10,10],精度0.02,则大约要绘制1000个点和1000条线,这是可行的;如果改成精度0.0001,就不太合适了。

用小线段连接样本点绘制曲线有时会遇到问题。因为有些曲线是间断的,如双曲线y=1/x在原点处间断。当接近原点时左侧值很小,右侧值很大,用线段去连接原点左右两个点就不合要求了,这时就必须间断。程序判断的方法是看相邻点间的距离,较大时曲线在此处断开。默认是4个单位,用户可以在属性中修改。通过设置适当的精度及跃度间距可以绘制出取整函数的图象(端点处不能自动标志空心圈),如下图:

曲线的标签可以显示在曲线的末尾处。

空间中的点用其坐标表示的,随时间变化的点可以写出它的坐标与时间参数的关系,从而构造出曲线。因此可以制作曲线动画,模拟和刻划运动。这在数学与物理教学中有广泛应用,下图是“弹簧振子”的截图。

几何图霸

附空间坐标系相关知识:

1.球坐标系

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球坐标化直角坐标:

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2.柱坐标系

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柱坐标化直角坐标:

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二、曲面

空间曲面用含参数u,v的参数方程来定义。曲面方程可以先在右侧的“曲面示例”中的选择,然后到左边参数方程中点击按钮修改。用户可以自由输入,不必局限于几个示例。可以学一学“空间解析几何”,理解参数的含义。图霸仅要求方程对参数u、v都可导,曲面是光滑的。否则,在间断点附近,曲面显示效果不好。

如果要在参数方程中含有控制参数可以先选中几个度量值,然后再用【构造】-【曲线曲面】-【曲面】命令打开对话框,在修改参数方程或参数u、v时包含此数值作为变量。

几何图霸

如图设置,将得到一个圆柱侧面的一部分。它的半径为r,高为h,转角为c。

选中一个度量值,如c,按“+”号或“-”号(也可用【属性】或【动画按钮】修改c的值),可以看到参数值改变的时候,侧面也动态变化。

选中曲面,在属性中可修改显示方式,如下图是用“线框模式”显示,改变参数“精度”,观察变化情况,可以看出曲面是用小平面去似代替的。

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光照时曲面的正反面可设置不同的颜色。选中它,用【编辑】-【修改】-【修改标签】命令,在标签属性对话框中修改标签的颜色。它就用于光照时反面的颜色。

纹理图

为了非常逼真地显示物体,可以在曲面表面贴上图片,如地球仪:

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图片是二维的,建立如图所示坐标系,长宽s、t分别从0到1。由于曲面上的点都由方程中的参数u、v计算而得,所以只要建立u,v到s,t的线性变换即可知曲面上的点与图片上点的对应方法。自动映射纹理总是把整个图贴到曲面上。自定义时可以重复使用图片或只用它的一部分。比如计算出的(s,t)=(1.5,2.5),则去掉整数部分得(0.5,0.5),它表示把图片的中央与该点对应。详细情况请到网上查询有关纹理贴图相关知识。

有的曲面是封闭的,双面可以用相同的纹理图片;否则可以用不同的。程序中自带多张贴图。如果你要使用自已的图片,请使用【编辑】-【修改】-【更换贴图】命令。先选取要置换哪一张图片(1-3),再浏览你电脑中的图片。由于使用自定义图片,会使课件变大。所示建议使用小图(如256*256,太小又会不清晰。建议修改为2的n次方,n为7、8或9.)或恢复黙认图。如你更换了他人的自定义图片,将不能再恢复,请仔细。更多的图片可到网上搜寻“纹理”、“材质”、“贴图”。

如果使用【透明】,一般还要修改图元的颜色,特别是进行透明度设置。

下图是几个曲面的示例:

 

扩展阅读纹理贴图

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