2.6 度量值、坐标、参数及计算

返回帮助目录

在几何图霸中,图元的一些数量特征,如点的坐标、线段的长度、多边形的面积、向量的坐标都可以度量得到,度量的结果用动态文本表现在屏幕上。

图霸中的度量结果有两类:是一个数值的,称为度量值;是一个点或向量的坐标的,称为向量坐标,它由三个有序实数构成(可仅显示2个)。另外参数计算的结果也是一个值。

几何图霸

度量值

度量可量化几何对象的大小、方向、坐标和其它特性。在几何图霸中,当您改变度量对象时,所有的度量值都被动态地更新。您可以经常通过观察这些度量如何变化、它们之间以及与图形中其它对象之间怎样相互联系来获得重要的数学洞察力。

所有的度量都有一个值或坐标。大多数度量含有一个单一的数值,这些单一数值度量在您的绘图中有许多用途。

度量值、计算结果和参数是三种显示单一数值的对象,可观察它们从而发现图形中各对象间的关系。这三种对象的数值都可用于定义或控制绘图的表现,如控制变换绘制坐标点计算等。

要创建一个新的度量值,请先选定要度量的对象,然后从【度量】选项卡中选择一个命令,点【坐标】、【点的值】、【长度】或【距离】等还可以直接用【度量计算】工具度量。

在图霸中值是无单位的,即使是角,它显示的是度,但实际使用或计算时仍是用弧度数。运算中使用的精度是比您所见到的显示精度要高很多的,一般度量结果显示2位小数。选中它,用【显示】-【点大小、线宽度、值精度】中的相关命令可以对它的精度进行修改。

选中度量值或表达式,可用【文本标签】工具为式子重新命名,当文本格式时,删除标签的文字,显示时也不显示等于号。

几何图霸

度量值名称可以隐藏。选中度量值,可以用【显示/隐藏标签】命令切换。隐藏时也不会显示等于号。仅对文本格式有效,数学格式无需隐藏。如下图度量三点角时的角度值。

点的值

点的值也是一个度量值,它比较复杂。在平面几何中有关图形覆盖的面积问题常用到它。度量点的值有两种类型:

1.当点是一度自由点时,它有一个自由度,就是它的动画参数。点的动画按钮,就是控制这个值的变化,使点在路径上运动。这个值又称为点的动画参数值。

选择该点,用【度量】-【数据】-【点的值】命令或者在右击弹出的快捷菜单中选【点的值t】命令,可以度量出该值。

例如线上点圆上点曲线上点轨迹上点均可用它度量点的动画参数。参数的含义请查看各点的定义。下图中,点C是选择圆A画的对象上的点。选中点C,右击菜单中选【点的值t】,度量结果是t(C)=2.09,表示的是角BAC=2.09弧度。

几何图霸

2.当点是任意点,并非对象上一度自由点时(虽然你可能认为它就在对象上,但它并不是用对象上的点构建的。如直线与圆的交点在圆上,它的类型是交点而不是一度自由点。)这时选择一点,还要再选择一线段(直线、射线、向量)或圆弧(圆)。可以度量点相对于线或圆弧的位置。值的含义说明如下:

(1)点相对于直线的值:

几何图霸

上图中点G是直线AB上的点,但不在线段上,选中点G度量点的值与选中G及AB度量点的值,结果是一样的,在线段左侧,向量AG与AB反向,值为负。大小为|AG|:|AB|.

点C及点D均不在直线上,度量的值与它在线上的投影相同。点E在线段AB上值为AE:AB,点F在右侧,向量AF与AB同向,值为正,大小为AF:AB。

直线AB是先选A再选B而构建的;直线BA则与它相反。度量的值与顺序有关的。若要对线反向,可以用【编辑】-【修改】-【线面圆反向】命令。修改后,点的位置或值自动更改。点在AB上是0.38,点在BA上就是0.62.

(2)点相对于线段(或向量)的值

几何图霸

从上图可见,点在线段上的值总在【0,1】范围内,在线段上时为AE:AB;在延长线上时为1,在反向延长线上时为0.实际是看距离哪个端点更近。点F离B近就用B的值。当然点G的值不受影响,仍为负,它是动画参数值,度量时仅选一点;点G在线段AB上的值为0,度量时要选点及线段。

(3)点相对于射线的值:

几何图霸

这种与前两种类似,先转化为投影点的值,投影点在对象上用该点的位置比,不在的用靠近的一端点值。

(4)点相对于圆的值:

几何图霸

上图中,选中点C及圆A,【度量】-【数据】-【点的值】。得到C在圆弧c1上值为0.16,它表示射线AC在圆所在面内的投影AH与圆的交点E在圆上的相对位置,值为弧BE长:圆周长,值的范围为【0,1】.其中点B是圆的起始点。

选中点A,构造圆上的点F。选取点F,度量点F的值为2.24,表示角BAF的弧度数为2.24;选中点F及圆A,度量点的值得F在圆弧上的值为0.36,表示弧BF长与圆周长之比。区别两种类型的值。一是圆参数方程中的参数值,一是弧长之比值。

(4)点相对于弧的值:

.几何图霸

上图中,如何定义点C在弧ST上的值?

点C不在圆所在面内,先转化为在圆面内的射影H. 点H不在圆上,转为射线AH与圆的交点E。C、H、E在弧上的值定义为相等的。

点E在圆弧上,值范围为【0,1】,与圆类似是一个比值:弧SE长:弧ST长=0.69.

点G不在弧上,离弧的起点近,在弧上的值与S的值相同,为0;点F也不在弧上,离弧的终点近,在弧上的值与T的值相同,为1.

点G与点F同时又是圆上的点,它们还有动画参数值。选一点可度量出,它们就是在圆上的值。t(G)=5.28指的是弧BTG的弧度数.

准确理解各种类型的点的值的含义是设计动画的基础。由点的位置得到值,由值又能去绘制点,实现数形结合。点动值变,再引起下一代点的运动,从而构建各种动态图形。

向量坐标

图霸不仅可度量出一个单一的值,还可以度量出三元数组,即点或向量的坐标,并对之进行运算。

几何图霸

选定一个点,可【度量】出【点坐标】;选取一条线段(直线型对象均可,指确定它的两点决定的向量)可【度量】出【向量坐标】;选取一个面或三个不共线点,可【度量】出【平面法向量】坐标(已单位化)。

向量坐标的名称可以用文本格式显示,无箭头。选中后可以用【文本标签】工具修改为数学格式,如上图的最后三行的向量箭头。

选取一个或几个向量坐标,可用【度量】中【向量运算】命令进行计算。有的计算结果是数值,又可以用计算器进行数值计算。

向量坐标可以用于控制图元(如标志为平移向量)、判断图元间关系(比如计算混合积可以用于判断四点共面,计算数量积可以用于判断垂直、求夹角)等。

如果仅是研究平面向量,可以把它显示为二维形式(当然这只是显示,图霸中的对象都是三维的)。选中度量的向量,用【对象属性】命令,如图,按“是”即可。若它就是二维形式的,用【属性】命令又可恢复为三维形式。注意,Z值必须为0时才这样做。

几何图霸

参数

参数是简单给定的数值。与度量和计算不同的是,它们的取值不依赖于其它对象。一个参数定义于一个单一的无单位的数值,您可以把它用作长度、比或其它,当然您心中要有一个明确的单位,不至于出错。定义参数之后,可容易地利用输入新的数值或生成参数的动画,使它在某个数值范围内逐渐地变化的方法改变参数的值。

当您想探究某个数学结构随某些数量变化的动态效果时,请使用参数来定义这个结构。

1. 要新建一个参数,请选择【度量】-【数据】-【新建参数】命令,也可以右击鼠标,在快捷菜单中选择或使用状态栏中的工具。

2. 在参数对话框中输入或勾选有关属性。

选择【整数值】属性,拖动滑块时只显示整数.

在属性中设置【显示为角度】,内部仍是弧度,显示时转为角度。【计算】的表达式也可以类似地设置。

3. 要改变一个参数的值,可以拖动滑块或用【箭头工具】选中它,然后用【属性】工具,输入当前值。还可以在选定它时按【+】或【–】键。

4. 要创建一个动作按钮生成一个参数的动画,请选定该参数并用【编辑】-【操作按钮】-【动画】,在对话框中进行设置。如图构建了参数x的动画,它执行时,参数x及其后代计算值或图元都动态变化。

几何图霸

5. 用参数控制图元的颜色,产生动态参数颜色,选中一个或三个参数值及一个图元,用【常用】-【修改】-【颜色】-【参数颜色】命令,弹出对话框,确定即可。

几何图霸

 

计算

计算是利用算术方法联系一个或多个数学对象(如度量)的一个数学表达式。当您改变计算所依赖的度量时,计算的结果也随之改变。

要在已有的度量值上执行一个计算,可以先选取这些值,用【度量计算】工具或【度量】-【数据】-【计算】命令; 要编辑一个现有的计算,请用【箭头工具】选取它,然后用【属性】工具。

------- mtftext

表达式中支持使用变量,在打开计算器前必须选取度量值或参数,值的名称被放在“数值”框中供选取,在表达式中依序用No1、No2...表示。

表达式既可以用计算器中的按钮输入,也可以直接输入,但一定要符合表达式的语法规则,只有当“确定”按钮可用时表达式才是正确的。表达式例: 1+2-3*4.5/6+2^3; -(2-3*(2-3))-Pi+e; sin(No1)+cos(3*Pi/2); sqrt(2)-sgn(-6)+int(3.2)-cbrt(8),结果显示如下,其中x是定义的一个参数名,先要选取它:

几何图霸

表达式的计算结果无效时显示为“?”,例如“1/0=?”,“sqrt(-1)=?”,前一个为无穷大,后一个负数开平方为无效值。当你发现显示问号时,说明表达式值现时为无穷大或不存在。

表达式可以选择两种方法显示。如下图步骤。先选,然后用【修改标签】或用【文本标签】工具,再在对话框中改变类型。自定义的数学格式标签可以在MTF文本编辑器中对其进行编辑。

 

表达式中支持的常数有:e(2.71828...)、 Pi (3.14159265...).

表达式中支持运算类型有:加减乘除(+ - * /)、求余数 % (mod)、乘方^六种。

表达式中支持的函数有:三角反三角函数(sin、 cos、tan、 cot 、arcsin、 arccos、 arctan)、双曲函数( sinh 、cosh、 tanh)、绝对值函数 abs、根号函数 sqrt、 以e为底的指数函数exp、常用对数函数 lg、自然对数函数 ln、取整函数int、符号函数 sgn ,随机函数rand(x),内置变量存取函数,计数函数,时间函数time 等共28种。

下面介绍几种运算或函数的定义:

(1)a%b:表示求余数运算。若a%b=c则a=b*n+c,其中商n为整数,c与a同号或为0,且|c|<|b|。如10%3=1,-10%3=-1,10%(-3)=1。

(2)int(x):表示求不大于x的最大整数。如int(3.6)=3,int(-3.2)=-4,int(-4)=-4。

(3)round(x):对x四舍五入到整数。如 round(3.2)=3;round(-3.5)=-4; round(3)=3; round(3.15*10)/10=3.2.

(4)sgn(x):当x>0时,返回1;当x<0时,返回-1;当 x=0时,返回0。如sgn(2.6)=1,sgn(-4)=-1。

(5)rand(x):产生[0-x)的随机数。选择一个动态参数(如下图中的t)后打开计算器,添加这个函数,当参数变化时(可用按钮按制),它也重新产生一个新的随机值,因为t值被定义为“新建计算”的父母。

几何图霸

(6)set1(x)-set6(x):在6个内置变量中赋值。程序为您申请了6个位置,可以存放数值,称为内部存贮器,编号从1到6。在程序运行时就存在,关闭后消失。各文档共用的。

(7)get(x):从内存单元(程序中设置了6个供用户使用的内置变量)中取出数,当x为1-6之间的数时,转为其整数部分,x取其它值全转为6。例如get(5.6), 表示从第五个内置变量中取出所存的实数。

(8)accum(x):x号内置变量中的值加1,具有计数器功能。

(9)time(x): 取当地日期与时间。得到的是一个小数,x=0和5时,显示的小数部分要取四位,选中后,在【编辑】-【值精度】中修改。用这个函数可以制作走时精准的钟表。为了及时刷新时间,先添加一个参数t及它的动画。选中t后添加计算time(0)等,点击动画按钮,t的值变化,它的后代也将更新,从而重新取出系统的时间。当x为小数时先取整,再按下图求值。若仍无对应的x值,则返回0时的值。例如(对照下表的当前时间),time(2.4)=30,time(10)=16.3035。 time(11)表示把当前时间的分和秒换算成以时为单位,16时30分35秒=16.510时。x=12以分为单位,x=13以秒为单位。

函数定义如下:

(10)hv(x): 单位阶跃函数,又称为海维赛德heaviside函数:当x>0时,值为1;当x=0时,值为1/2;当x<0时,值为0.

它与符号函数sgn()关系是:hv(x)=(sgn(x)+1)/2.函数图象如下:

图霸界面

使用内置变量、随机函数可以进行随机模拟。

下面讲解“掷骰子”制作的主要步骤:

6个内置变量分别表示掷骰子若干次时各点数出现的次数。如1号变量存贮的是1点出现的次数。

(1)【新建参数】n0,选中它,添加按钮,改名为“初始化”,参数范围“从0到0”,速度为“快速”。(上图第一行)

(2)选中n0,添加【计算】:set1(0)+set2(0)+set3(0)+set4(0)+set5(0)+set6(0).当点击初始化按钮时,no从0变到0,虽然没有改变,但添加的计算表达式是n0的后代,这样它要重新执行一次。看它的内容可知,向6个变量1-6中赋值0,表示开始时各个变量为0,即掷骰子前各个点数和均为0。这里的加法只是为了在一个式子中完成各个赋值,并无别的作用,也可用6个赋值语句。以后每次重新试验时均先点此按钮,就能“清零”了。(上图第三行)

(3)新建参数n,选中它,添加【按钮】,改名为“连续抛掷”,参数范围“从0到600”,速度为“自定义 1”。你也可改成更大的值,用于表示抛掷的次数(近似数,主要是用于引起后代的计算)。(上图第二行)

(4)选中n,添加【计算】:accum(int(rand(6))+1),这是核心表达式,务必要理解。其中rand(6)表示产生一个随机数在区间[0,6)中;int()是取整函数,能得到它的整数部分,即0,1,2,3,4,5;再加1就表示6个正整数1,2,3,4,5,6,表示骰子的6个点,它们是等可能出现的;accum(x)是累加的作用。如果x=2,则第2个变量值加1,而第2个变量是表示骰子点数为2的总数的,开始时已初始化为0.(上图中第四行的=35就表示有35个两点。若是其它值类似。

(5)选中n,添加【计算】:get(1),get(2),...,get(6)取出各个变量中的值,即各个点数出现的次数。比如一点出现了37次。上图中第五行。

(6)选中上步的6个式子,新建【计算】:get(1)+get(2)+get(3)+get(4)+get(5)+get(6),显然是求出各点数的总和,即抛掷总次数,改名为N.(上图第六行,图中未改名称,为了让大家看清楚,用的是自定义数学格式标签)

(7)计算频率。选中get(1)及N,添加【计算】:get(1)/N.(上图第七行)

(8)添加其它图形,进一步修改完善。当N较大时,频率稳定于概率1/6。如下图:

 

返回帮助目录 进入 操作按钮