2.2.5 约束点

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1。中点

选取一条或多条线段,用【点】工具或用【构造】-【点】-【中点】命令,可以添加这些线段的中点,中点的父母是线段。选两条线段时,要用【中点】命令,【点】工具用于作交点。参考等分点。选择两点,用【中点】工具可以作出二等分点(所连线段的中点)。比如,要作图中的点M,可以选线段AB;若图中未画出线段,也可以选两点A、B.

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2。交点

图霸中的交点是指两个图元的公共点,有直线圆弧曲线轨迹间的交点共12种类型,如下图:

图中画圈表示同一类型的两个图元相交,红线表示可以是空间图形(共9种类型),黑线表示必须是同一水平面(平行于XOY平面)内的图形(共3种类型)。

要添加交点有两种方法:

一、选择上述两个图元,用【构造】-【点】-【交点】命令。

二、任选线、圆、曲线、轨迹两对象或一线一面或一圆一面,用【点】工具画交点。

直线与圆的交点以及圆与圆的交点,与我们平时平几中的情形不一样。由于两个图元不一定在同一平面内,若用【交点】命令添加,必须同时加入两个点。如果你只需要一个点,可删除另一个。如图,点A、B是两圆交点;点C、D是直线与圆交点;点E是直线与直线交点。如果选中直线AE和蓝色圆,添加【交点】,那么将会见到一点与点A重合,另一点无效,当你改变圆或直线位置时,如果有两个交点,另一点会自动显示。因此,当你添加交点时,如果未见到图元,那么这些点可能暂时是无效的,但它已经添加了。拖动点改变位置,它就可能出现。

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线段与线、面、圆、曲线、轨迹相交时,若交点不在线段上,此交点无效,不会显示。射线、向量也类似。但仅检查交点是否在直线型对象上,对圆弧不作限制。若旧版本的文档中出现一些图元不显示了,可以把相关的线改为直线。

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有些图元间的交点个数较多,比如下图中的线段与正弦线。但图霸最多支持32个。如果当前状态交点个数较少,你也可以先添加较多个数的交点,当移动图元时会自动显示新的交点。上图中有11个交点,你可以加入13个,其中2个不显示。当你拖动直线时,它们有可能显示出来,因此在添加时尽可能移动到最多交点个数时添加。

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直线与曲线(或轨迹)的交点排列的顺序依照点在直线上的位置。删除一个交点时不影响其它交点。不建议为两个图元多次添加交点。

三维空间中图元交点的计算远没有同一水平面内的图元准确,比如曲线与曲线交点为两小线段交点。因此建议使求交点的两个图元共面,并且适当增加曲线或轨迹的精度。

当直线与圆的一个交点已知时,如何作另一交点呢?见下图:

这时用【交点】命令不够好,可以先画点C在线AD上的投影M,再画点A关于点M的对称点B即可。如下图:

已知直线与有心二次曲线的一个交点画另一个交点也有类似方法,可以用自定义工具中的【圆锥曲线工具】实现。

 

3。投影点

投影点有两种:点在线上的投影及点在面上的投影。

选择一点,再选一线或多条线(或多个面),用【构造】-【点】-【投影点】添加投影点。

左图中,点D是点C在线AB上的投影;右图中,点F是点E在面ABCD内的投影。当点C在AB上时C、D两点重合,不能画出线段。

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如果一点就在线上或面内,作线或面的垂线不能用投影点,可以用【线垂线上的等距点(或伸缩点)】或【面垂线上的等距点(伸缩点)】;也可把此点按平面法向量平移而构造【面法线上的点】;还可以用【垂线】命令添加【垂线上的点】。

 

4。变换点

在用【变换】选项卡中的命令进行点的变换前一般要先指定点将作怎样的变换:

1.使用【标记轴】指明一条线用于旋转或按线的反射。

2.使用【标记比】指明由三个共线点或两条线段形成的比或一个值作为比用于缩放。

3.使用【标记向量】指明由两点形成的向量或度量的向量坐标用于平移。

4.使用【标记中心】指明由一个点用于缩放或按点反射或平面内绕点旋转。

5.使用【标记角度】指明由三点形成的角或一个值作为角的弧度数用于旋转。

6.使用【标记镜面】指明一个面用于按面反射。

当然,在变换时也可以在对话框中自定义固定值。如图,您可以使用标志向量BC进行平移,也可以定义一个固定向量进行平移。若要使用可变向量,您应该先选取一度量向量,然后用【变换】-【标志向量】。

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变换点的构造:先选取一个或多个点,用【变换】下的命令可以构造相应的变换点,并在此基础上添加线或面。

1。平移点:点按向量平移。

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2。旋转点:点绕轴旋转一个角。这里的轴有方向,角有正负。如图,从B向A看,正角逆时针旋转;负角顺时针旋转。

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参考下面的中间的图,大拇指指向旋转轴的方向,四指所环绕的是正向。

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旋转可以绕中心所在铅垂线进行。选择一点A,标志为中心;再选一点B,用【旋转】命令可让B绕过点A与z轴同向的直线为旋转轴旋转。这种旋转常用于平面几何。下图中三点可构成等边三角形。

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3。缩放点:点按缩放中心以一个比值缩放。比值大于1时原方向伸长;比值小于0时反方向放缩……,与数乘向量是一致的。

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4。反射点,以叫对称点,可以关于点、关于直线或关于面对称。

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5。含参坐标点

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选取一个或多个(不必多于三个)度量值,用【常用】-【添加】-【坐标点】命令打开对话框,如图。在坐标输入框中选取相应的变量(也可以输入常数),如果三个中至少有一个为变量,则添加【含参数的坐标点】。这些度量值变量就是该点的父母。该点的位置随参数的变化而变化。

 

6。对象上绘制点、圆上旋转点

对图元的度量可以得到数值,由数值也可绘制图元。这是图霸实现数形结合的的基础。对象上绘制点、圆上旋转点都是根据值来绘制已有图元上的点。这种值可以先选取一个度量值或参数值或计算的结果,它是可以动态变化的。若未选取,则要在对话框中输入值,这时值是固定的。

(1)不选值或代表值的点的时候:

线、圆、曲线、轨迹四种单一路径对象或复合(组合)路径对象上的点均对应一个(或多个,如圆)参数值;一个参数值也对应一个点。

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例如:上图中,圆A上点B为起点,点D的参数为π/2=90°。若要加一个固定参数为180°的点(B关于A的对称点),可以先选取圆,再用【构造】-【点】-【对象上点】-【对象上绘制点】命令,在对话框中输入角(如上图)即可。图元上点的参数的含义请参看各图元的说明。

(2)当选择一个值或代表值的点时:

选中的参数值或对象上点的值将代替上面输入的参数。

下图,点P是圆A上的动点,在圆B上画一个点,使它的参数与点P的参数相同。只要选取点P和圆B,就可以用【构造】-【点】-【对象上点】-【对象上绘制点】命令,添加点Q,点P在圆A上的参数被用作点Q在圆B的参数。当点P运动时,P的参数将发生变化,而点Q的参数与点P是相同的。因此点Q也将在圆B上运动。又圆上点的参数代表角,所以点Q与点P将以相同的角速度在各自的圆上运动。这种点用于构建动画或轨迹是很方便的。只要把P作为主动点,就可以控制从动点Q及其后代的运动。

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先选取任一个线上的点,再选取一个圆,就可以绘制圆上与线上同参数的点。下图中点P是线AB上一点,选中点P及圆D,绘制圆上点Q,当P运动到AP=2AB时,点P参数为2,这时点Q的参数也为2,所以角EDQ为2弧度。这种构造可以把直线运动转化为圆周运动。

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先选取任一个度量值或参数t,再选取一个圆,用【构造】-【点】-【对象上点】-【对象上绘制点】,就可以绘制圆上与度量值同参数的点,如下图。再添加参数的动画,就可以用数控制形的位置了。它把数的变化转化为点在圆上的运动。参数t是弧度数。

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下图中,选择一参数t,再选择线段、曲线及圆弧,用【构造】-【点】-【对象上点】-【对象上绘制点】得点P。它是复合路径上的与参数t对应的点。下图中点P在弧的五分之一处。

若选择的仅有线段或弧,得到的就是组合路径上的参数点。

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下图,选中空间四边形ABCD各顶点,再选中参数t,用【构造】-【点】-【对象上点】-【对象上绘制点】命令,可添加多边形边界上与t同参数的点P。当然也可以不选参数值而选择一个度量值或另一个路径点。

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添加参数t的动画,控制P的运动。这是参数的动画,与复合路径上动点的动画不同。

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其它依此类推,不难理解。

(3)【圆上旋转点】与圆上参数点类似,但它的参数比所选点的参数大一个设定的旋转角。如图,P是圆A上一动点(也可以是另一个圆或曲线上参数点或圆上旋转点等,只要它的动画参数能对应圆上的点),选取点P与圆A,用【构造】-【点】-【对象上点】-【圆上旋转点】,设置旋转角90度,添加点Q,则点P在圆上转动时,点Q始终保持角PAQ=90度。圆内接正多边形可以用此类点构造顶点。当点P不是圆上点时,点Q在圆上的参数总比点P的相应参数大π/2。也可以选取一度量值与一个圆,构造圆上旋转点。

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7。N等分点、圆上分点

(1)【N等分点】的实质是缩放点,它不是一种新的点的类型。它的父母是两点而不是线段。它是以首个点为中心,将第二个点按固定比缩放得到的点。

选择两点或多条线段(加入分点后如不需要可删除线段),用【构造】-【点】-【分点】-【N等分点】命令,输入N,可添加N等分点。对话框中可勾选只添加靠近首选点的一个分点。

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选择两点(或多线),N为2时可添加中点,如下图。它不需要加入线段。

(2)圆上分点:选择圆及其上两点,可加圆弧的分点。如下图,点F在弧DE的2/5处。该类点用于把圆弧N等分。注意选取的两点要是【圆上的点】或【圆上绘制点】,其动画参数值与圆上点的参数相对应。下图中[t(F)-t(D)]/[t(E)-t(F)]=0.4

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8。公垂线段端点

选中两条线,用【构造】-【线】-【公垂线段】,可加入两个公垂线段端点,公垂线段端点是一条直线上到另一条直线上距离最近的点。如图,EF是异面直线AB、CD的公垂线段,点E是直线AB上到CD最近的点,点F是直线CD上到AB最近的点。

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9。三角形五心

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心称为三角形五心。如图,选中三点A、B、C,可以用【构造】-【点】-【五心】中相应命令添加三角形五心:点O、I、G、H、E。其中O、G、H三点必在同一直线上,这条线就是有名的欧拉线。旁心有三个,改变三点的选取次序,可以添加另两个。

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10。面垂线上的等距点

如图,依次选取三点A、B、C,用【构造】-【点】-【垂线上等距点】,可构造面ABC的垂线上的点D,它满足DA=AB,向量AB、AC、AD成右手螺旋系,可用于画垂线,构造正方体等结构。

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11。角平分线上点

选取三点A、B、C,用【构造】-【线】-【角平分线】,可构造角ABC的平分线BD。点D就是角平分线上的点,它是边AC的一个分点,如图。

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12。外角平分线上点

选取三点A、B、C,用【构造】-【线】-【外角平分线】,可构造角ABC的外角平分线BE。点E就是外角平分线上的点,它是边AC的一个外分点,如上图。

 

13。线、面垂线上点

(1)线的垂线上点

选择一点多线或多点一线,用【构造】-【线】-【垂线】命令作过点的线垂线,另一点即称为垂线上点。这里又有几种情况。

当点在线外时,此点实质为线上的投影点。如下图,选中点B和线AC、CD、DA,用【垂线】命令,可构造三条垂线。点E、F、G为垂足。

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当点在线上时,空间中,过线上一点可作无数条直线与该直线垂直。这些垂线在该直线的一个垂面内。若其中只有一条是水平放置的。图霸的【垂线】命令就作出这一条。若有无数条,此线应是平行于Z轴的,则作出与x轴平行的线。如下图,过点E作CD的垂线且水平的就是EF,选点E及线CD,用【垂线】命令即画出EF,它是单位长的,且与XOY平面平行(或重合)。过点P作DP的垂线,画出的PQ即与X轴平行。当然,这些画出的都是一种特殊的垂线,常用于平面几何中。所有垂线有无数条。

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若研究的对象和要作的线都在同一个水平面内,可以由平面几何知识知道,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。上面的画法对此就方便了。

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上面的二维图中,三角形ABC所在平面始终平行于坐标面XOY。点D在边BC上,选择点D及线BC,用【构造】-【线】-【垂线】命令,作出的DE与高AF平行且是单位长的。

再看下左图,过点C作线AB的垂线CE,当点C是线外点时,点E可用投影点,但当C向线上的点D运动,两点重合时,线CD就不存在了。用“垂线上点”可自动判断使这条垂线总存在。如右图所示:

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由于图霸是动态图形软件,点C常常会改变位置。这样做就可以使过一点总能画出一条直线CE与AB垂直了。为平面几何研究带来方便。

在空间中,如果限定在一个面内,又如何画垂线呢?下图中,过点C,在面ABC内画线BD的垂线。

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这时可以用三垂线定理,先画出BD在面ABC内的射影,然后再画射影的垂线。如下图:

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如果要求过BD上的点F在面ABD内画BD的垂线,又如何画呢?

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可以先过点A作BD边上的高,再用平行线作出,如下图:

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怎样在面ABD内画线段BD的中垂线?除了类似上面的方法外,还可以利用三角形的外心,过中点M及外心E画直线即得。

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(2)面的垂线上点

选择一点多面或多点一面,用【构造】-【线】-【垂线】命令作过点的面的垂线。如图点E就是过点D的面ABC垂线上点。

D在面外时为投影,D在面内时为单位法向量的终点。程序自动判断D的位置,从而使线总可以画出。

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