2.2.4 一度自由点

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在一条线(直线或曲线)上自由运动的点叫一度自由点,它可以仅用一个参数t表示当前的位置,此参数值叫点的值。理解参数的含义有利于设计点的动画。一度自由点又名路径点,它既能用鼠标拖动又能用动画按钮控制其在该路径上运动,是设计动画的关键要素。请结合动作按钮学习这部分内容。

 

1。直线上的点

选用【点】工具,光标移动到一条直线(或线段、射线等直线型对象)上,线会高亮显示。在线上单击一下,就构造了直线上的点;也可以选取一条线,用【构造】-【点】-【对象上的点】-【对象上的点】来构造。如图,点P是直线AB上的一个自由点:

几何图霸

当点P满足几何图霸时,点P一定在直线AB上。由此可知直线上的点的参数的含义。比如:t=0时,P为A点;t=1时,P为B点;t=0.5时P为AB中点;t>1时,P为AB延长线上的点;t∈[0,1]时P为线段AB上的点。如果你设置点P在线段AB上的动画,那么参数范围就取[0,1],其余类推。

 

2。 圆上的点

选用【点】工具,光标移动到圆(弧)上,单击一下,就构造了圆上的点;也可以先选取一个圆(或弧),用【点】工具或用【构造】-【点】-【对象上的点】-【对象上的点】命令,可以构造圆弧上点。如图,点P是过三点的圆ABC上的一个自由点:

几何图霸

点P的参数是射线OA转到OP的角(弧度),类似于教材上圆的参数方程中的参数,但角的正负与ABC三点的环绕方向有关,一致时为正。选中点P,用【度量】-【数据】-【点的值】可以度量出这个参数,见图中的t(P)。用鼠标拖动点P,观察t的变化情况。其它类型的圆上点可以用此法去理解其含义。如果你添加点P的动画按钮,参数范围取[0,1.5708](π/2≈1.5708),那么P就在1/4圆弧上运动。

 

3。曲线上的点

选取一条曲线,用【点】工具或用【构造】-【点】-【对象上的点】-【对象上的点】来构造曲线上的点。曲线上点的值t的意义同曲线参数方程中的参数t。

几何图霸

上图中的点P值为1.62,把它代到其父对象的参数方程中就可以得出点A的坐标。

 

4。 轨迹上的点

选取一条轨迹,用【点】工具或用【构造】-【点】-【对象上的点】-【对象上的点】来构造轨迹上的点。轨迹上点的参数t是创建轨迹时的主动点在其路径上的参数。

几何图霸

上图中点D是圆A上的动点,F是DE上一比例点。点D在圆上运动时,点F的轨迹是小圆。点P是小圆上一点。那么点P的位置由其参数t 怎样计算呢?上面已讲了圆上点的参数的意义,当“主动点”D的参数为 t 时,对应的“从动点”F所到位置的参数就为t。如下图:

几何图霸

以上四种类型的点都是对象上的点,是四种最重要的路径点,是制作动画常用的对象。

 

5。平行线上的点

几何图霸

如图,依次选取点C、点A、点B,用菜单【构造】-【点】-【平行线上点】-【平行于两点所在直线】,可作出与AB平行的直线上的点P。P的参数表示有向线段CP的数量,即绝对值是线段CP的长度,与AB长度无关;CP与AB方向相同时t为正,相反时为负。

如果选取一个点也可以作平行于向量的点,参数t的意义同上。过一点分别作平行于坐标轴的点,可用于构建空间坐标系。状态栏中的相应工具可以提高效率。

几何图霸 ------->>>几何图霸

 

6。线垂线上的等距点

几何图霸

上图正方体中的点A、B可确定正方体的位置及棱长,那么两个顶点能确定一个正方体吗,当然不行。还需要确定点D。当AB固定时,若要保持正方体这一属性,点D应能在AB的垂面内绕AB而转动,满足DA⊥AB,DA=AB。我们把这样的点D叫线AB的垂线上的等距点。

依次选取点A、B,用【构造】-【点】-【垂线上等距点】,可作出点D。

几何图霸

从图可以看出,用鼠标拖动点D,它可在以A为圆心,AB长为半径,与AB垂直的一个平面内的圆上运动,只不过图霸中省去了这个圆。因此,点t的参数类似于圆上的点,也表示一个角。

 

7。面垂线上伸缩点

几何图霸

如图,点A1是长方体的一个顶点,它可在A、B、D确定的平面的垂线AA1上伸缩,这样的点称为面垂线上伸缩点。

依次选取点A、B、D(注意顺序,它确点AA1的正方向),用【构造】-【点】-【垂线上伸缩点】,可作出点A1。

点A1的参数t表示有向线段AA1的数量,当向量AB、AD、AA1成右手螺旋系时t为正,反向时为负。当A1被拖到面ABCD下方时,t将为负数。

几何图霸

 

8。等边三角形顶点

几何图霸

选取两个点,用【插入】-【多边形】-【等边三角形】,追踪顶点C,可得上图。点C可以绕AB转动。设AB的中点为M,则MC⊥MB且MC:MB=√3,即C是MB垂线上的定比点,其参数t的含义类似于垂线上的等距点

 

9。 复合路径上的点

线段、圆弧、曲线、轨迹四种单一路径中选取两个或两个以上,构成的路径即是复合路径。若选中的几个简单路径中仅有线段或圆,构成的路径称为组合路径。即复合较复杂,组合较简单。

下图中,线段AB,曲线BDE,弧EF构成复合路径。其中各部分的参数由小到大时对应的点必须依次从A到B,从B到D再到E,从E到F。

依次选取这三段,用【构造】-【点】-【复合路径上的点】命令,构造出点P。选中点P,度量点的值,并添加点P的动画。

在线段上,参数t(P)从0到1,即【0,1】,在曲线上,参数范围是【1,2】,在弧上,参数是【2,3】。复合路径由n段构成,参数范围就是[0,n],每段1个单位,并不均匀分布。运行按钮,观察t(P)的变化。

t(P)=1.4时,整数部分表示前面有1段,所以点在第二段曲线上。该曲线是抛物线,方程为x=t,y=t^2-4,z=0,参数t范围【-3,2】,区间长为5,t(P)小数部分0.4表示在区间【-3,2】中对应值是-3+5*0.4=-1,代入可得点为(-1,-3,0)。即t(P)的1个单位长对应于曲线方程中参数t的5个单位长,转化方式是线性变换的。

在圆弧上,参数t(P)从2到3变化,由于半圆的圆心角是180度(Pi弧度),所以t(P)=2.5对应的就是弧的中点,t(P)=2.8对应的是弧EP为180*0.8=144度的点。这里要注意圆面的方向,若发现运行方向反了,要对圆进行反向(【编辑】-【修改】命令组中)。

特别地,若只有几条首尾相连的线段,不必共面。可以选中几个端点,用命令【构造】-【点】-【复合路径上的】加入一个动点P。这点将在闭合的路径上运动。这与选四条线段(可能不闭合)不同。下图是选取四点A、B、C、D,添加的复合路径上的点P。注意:没有线段也可以,更不要选取线段,但点会在四条线上运行。就象行星轨道是椭圆,天空中并没有椭圆一样。

参数t(P)的含义类似于上面的情形。整数部分为所在边的序号,从0-1为第一条边,1-2为第二条边,依此类推;参数的小数部分为此点在边上的位置参数。t=1表示在第一条边的末顶点B,t=3.6,表示在第四条边的中点再靠近点A一些。如上图。这种点运动并不是匀速的,若要匀速运动,可以使用组合路径上的点

10。 组合路径上的点

下图中,线段AB,弧BD,线段DC,弧CA,其中仅有线段和弧,没有曲线与轨迹,容易计算各段的长度,较简单,故构成的路径称为组合路径。

依次选取这四段,用【构造】-【点】-【复合路径上的点】命令,构造出点P。选中点P,度量点的值,并添加点P的动画,参数范围改为[0,1],速度0.02.

运行动画,可见点P是匀速的。参数t(P)从0到1,表示从A开始运行的距离占四段总长的比。比如t(P)=0.5,表示点P在组合路径的中间处,上图中是点D。t(P)=0.9就是指动点P从A开始运行了总路程的90%。

这种类型不要用到曲线或轨迹中,它们的长度一般是不易求出的。与复合路径区别有二:一是参数范围不同,二是参数值分布是否均匀。

下图中,依次选取线段AB、BC、CD、DA,用【构造】-【点】-【复合路径上的点】命令,构造出点P。度量点P的参数值,它是从0到1. 点P在四边上运动对于t(P)的变化来说是匀速的,与各边的长度有关。这个点不同于依次选四点构造的点,与复合路径的作比较,根据需要选择。

 

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